Quadratische Gleichungen lösen

  1. Umformen zur allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ax2+bx+c=0

    Unser Beispiel:

    $\left(x-2x\right)^2=3x^2-2$(x2x)2=3x22

    Alles auf die linke Seite bringen:$\left(x-2\right)^2-3x^2+2=0$(x2)23x2+2=0
    Klammen auflösen:$x^2-4x+4-3x^2+2=0$x24x+43x2+2=0
    Terme zusammenfassen:$-2x^2-4x+6=0$2x24x+6=0
    Es gilt also: $a=-2$a=2, $b=-4$b=4 und $c=6$c=6

  2. Lösen mit der Mitternachtsformel

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$x1,2=b±b24ac2a 

    Unser Beispiel:
    $x_{1,2}=\frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-2\right)\cdot6}}{2\cdot\left(-2\right)}$x1,2=(4)±(4)24·(2)·62·(2) 
    $x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{-4}=-\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}=-\frac{4\pm8}{4}$x1,2=4±16+484 =4±644 =4±84 
    $x_1=-\frac{4+8}{4}=-\frac{12}{4}=-3$x1=4+84 =124 =3
    $x_2=-\frac{4-8}{4}=-\frac{-4}{4}=1$x2=484 =44 =1

Die Lösungen für x sind also -3 und 1.

Der Wert unter der Wurzel ($b^2-4ac$b24ac) ist die Diskriminante.

  • Ist die Diskriminante negativ, git es keine Lösung.
  • Ist die Diskriminante null, gibt es genau eine Lösung.
  • Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei Lösungen.