Quadratische Gleichungen lösen

  1. Umformen zur allgemeinen Form ax^2+bx+c=0

    Unser Beispiel:

    \left(x-2x\right)^2=3x^2-2

    Alles auf die linke Seite bringen:\left(x-2\right)^2-3x^2+2=0
    Klammen auflösen:x^2-4x+4-3x^2+2=0
    Terme zusammenfassen:-2x^2-4x+6=0
    Es gilt also: a=-2, b=-4 und c=6

  2. Lösen mit der Mitternachtsformel

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    Unser Beispiel:
    x_{1,2}=\frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot\left(-2\right)\cdot6}}{2\cdot\left(-2\right)}
    x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{-4}=-\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}=-\frac{4\pm8}{4}
    x_1=-\frac{4+8}{4}=-\frac{12}{4}=-3
    x_2=-\frac{4-8}{4}=-\frac{-4}{4}=1

Die Lösungen für x sind also -3 und 1.

Der Wert unter der Wurzel (b^2-4ac) ist die Diskriminante.

  • Ist die Diskriminante negativ, git es keine Lösung.
  • Ist die Diskriminante null, gibt es genau eine Lösung.
  • Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei Lösungen.