Extremstellen einer Funktion bestimmen

Extremstellen sind die x-Werte, an denen unsere Funktion einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum) besitzt.

Den dazugehörigen y-Wert bezeichnet man als Extremwert.

 

 

1. Unsere Funktiongraph_extremstellen4.png

$f\left(x\right)=x^2-1$ƒ (x)=x21

 

2. Berechnen der ersten Ableitung

$f'\left(x\right)=2x$ƒ '(x)=2x

 

3. Davon die Nullstellen bestimmen

$0=2x$0=2x hat nur die Lösung $x_0=0$x0=0

 

4. Berechnen der zweiten Ableitung

$f''\left(x\right)=2$ƒ ''(x)=2

 

5. Einsetzen der Nullstellen aus Schritt 3

$f''\left(0\right)=2$ƒ ''(0)=2

 

6. Schlussfolgern aus den Berechnungen

  • lokales Minimum: wenn $f'\left(x_0\right)=0$ƒ '(x0)=0 und $f''\left(x_0\right)>0$ƒ ''(x0)>0
  • lokales Maximum: wenn $f'\left(x_0\right)=0$ƒ '(x0)=0 und $f''\left(x_0\right)<0$ƒ ''(x0)<0

 

In unserem Beispiel haben wir ein Minimum an der Stelle $x_0=0$x0=0. Notwendig hierfür war, dass die Steigung an diesem Punkt 0 ist (3) und die zweite Ableitung an diesem Punkt > 0 ist (5).