Extremstellen einer Funktion bestimmen

Extremstellen sind die x-Werte, an denen unsere Funktion einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum) besitzt.

Den dazugehörigen y-Wert bezeichnet man als Extremwert.

 

 

1. Unsere Funktiongraph_extremstellen4.png

f\left(x\right)=x^2-1

 

2. Berechnen der ersten Ableitung

f'\left(x\right)=2x

 

3. Davon die Nullstellen bestimmen

0=2x hat nur die Lösung x_0=0

 

4. Berechnen der zweiten Ableitung

f''\left(x\right)=2

 

5. Einsetzen der Nullstellen aus Schritt 3

f''\left(0\right)=2

 

6. Schlussfolgern aus den Berechnungen

  • lokales Minimum: wenn f'\left(x_0\right)=0 und f''\left(x_0\right)>0
  • lokales Maximum: wenn f'\left(x_0\right)=0 und f''\left(x_0\right)<0

 

In unserem Beispiel haben wir ein Minimum an der Stelle x_0=0. Notwendig hierfür war, dass die Steigung an diesem Punkt 0 ist (3) und die zweite Ableitung an diesem Punkt > 0 ist (5).